مثلا فرض کنید که در دفتر شرکت تان ۵۰ متر مربع فضا دارید که باید به عنوان انبار شرکت از آن استفاده کنید. بودجه ای که در اختیار دارید ۳ میلیون تومان است و با این بودجه، از میان کابینت های مختلف در انواع مدل ها و اندازه ها می توانید انتخاب کنید. حال چگونه در چارچوب بودجه ی اختصاص یافته ی خود، از فضایی که در اختیار دارید بهترین استفاده را می کنید؟

یا فرض کنید که سه کامیون برای تحویل کالا و ۱۰ مقصد برای ارسال کالا در اختیار دارید. چگونه بهترین مسیر و زمان بندی برای این کامیون ها را برنامه ریزی می کنید؟

یا تصور کنید که با استفاده از مواد خام اولیه ی یکسان، روزانه سه محصول مختلف تولید می کنید. اما از آنجا که این محصولات، به مقدار متفاوتی از مواد نیاز دارند، تولید بعضی گران تر از بقیه تمام می شود. مقداری از مواد خام، فاسدشدنی هستند و باید سریعا استفاده شوند. برای به حداقل رساندن هزینه، از هر محصول چه مقدار باید تولید کنید؟ با چه ترکیبی، کمترین مقدار دورریز را خواهید داشت؟

شاید پرسش هایی مانند اینها خیلی پیچیده به نظر برسند. با این همه متغیر و محدودیت هایی که باید در نظر بگیرید، چگونه تصمیم می گیرید چه کنید؟ پاسخ در استفاده از برنامه ریزی خطی نهفته است.

برنامه ریزی خطی، تکنیکی محاسباتی است که بهترین روش را برای استفاده از منابع موجود تعیین می کند. مدیران برای تصمیم گیری درمورد بهترین استفاده ی ممکن از منابع محدودی اعم از پول، زمان، مواد یا ماشین آلات، از این فرآیند بهره می برند.

توجه

فقط در صورتی می توانید از برنامه ریزی خطی استفاده کنید که رابطه ای خطی بین متغیرها وجود داشته باشد. موقعی می گوییم این رابطه خطی است که تغییر واحد در یکی از متغیرها، باعث تغییر هم اندازه ای در متغیری دیگر شود. رابطه ی خطی روی نمودار به صورت یک خط مستقیم نشان داده می شود.

تکنیک برنامه ریزی خطی

برای اینکه بهتر متوجه برنامه ریزی خطی بشوید، کار را با یک مثال شروع می کنیم. فرض کنید که شرکت شما دو محصول تولید می کند، میز (T) و صندلی (C). ظرفیت واحد تولیدتان هم ۵۲۵ ساعت در هفته است. برای تولید هر میز ۵ ساعت زمان لازم است و هر صندلی هم در عرض ۳ ساعت تولید می شود.

تقاضا برای صندلی نامحدود است و هر قدر بتوانید صندلی تولید کنید، مشتری ها می خرند. از سوی دیگر، میزها حداکثر ۱۰۰ واحد در هفته فروش دارند.

تأمین کنندگان تان هم می توانند مواد خام مورد نیاز برای تولید تنها ۷۵ صندلی را در هفته فراهم کنند. اما مواد خام مورد نیاز میزها، فراوان در دسترس هستند.

سود به ازای هر واحد یا سهم هر واحد عبارت است از ۲۵۰۰ تومان برای هر میز و ۲۰۰۰ تومان برای هر صندلی.1

برای به حداکثر رساندن سودتان، چه تعداد میز و صندلی باید در هفته تولید کنید؟

گام اول: مسئله را در قالب ریاضی بیان کنید

میز را با T=Table و صندلی را با C=Chair نشان می دهیم.

برای به حداکثر رساندن سود باید حاصل این معادله را بیشینه کنیم.

۲۵۰۰T+۲۰۰۰C = سود

با توجه به محدودیت ها در ظرفیت ، این معادله ها نیز باید برقرار باشند.

(محدودیت در ظرفیت) ۵T + ۳C ≤ ۵۲۵

(محدودیت در فروش میز) T ≤ ۱۰۰

(محدودیت در تأمین مواد اولیه ی صندلی ها) C ≤ ۷۵

گام دوم: مسئله را با نمودار نشان دهید

وقتی دو متغیر (یا در مثال ما دو ترکیب محصول) دارید، می توانید برای نشان دادن راه حل، نمودار رسم کنید. نمودار ابزار فوق العاده ای برای درک کامل مسئله است. اگر تولید میز را روی محور x و تولید صندلی را روی محور y رسم کنید، نمودارتان حداکثر ظرفیت های تولید در همه ی ترکیب های ممکن از میز و صندلی را نشان می دهد.

خط ظرفیت را بکشید:

نقاط انتهاییِ این خط ظرفیت، حداکثر تعداد میز و صندلی هایی هستند که می توانند تولید شوند.

شما می توانید اینها را تولید کنید:

صفر صندلی و ۱۰۵ میز (۵۲۵/۵) : نقطه ی (۱۰۵,۰)

یا

صفر میز و ۱۷۵ صندلی (۵۲۵/۳) : نقطه ی (۱۷۵, ۰)

خط ظرفیت، این دو نقطه را به هم متصل می کند.

برای همه ی مقادیر C (صندلی ها)، خط محدودیت فروش برای میز T=۱۰۰ را بکشید.

برای همه ی مقادیر T، خط محدودیت مواد خام برای صندلی C=۷۵ را بکشید.

این سه خط محدودیت در نمودار زیر نشان داده شده اند.

منطقه ای که با سه خط محدودیت و محورهای x و y محدود شده است، مجموعه ی ترکیب های ممکن از تولید میز و صندلی است. هر چیزی که خارج از این مرزها باشد، با توجه به این محدودیت ها و فرض اینکه تولید میز و صندلی بیشتر از صفر است، امکان پذیر نیست.

ترکیب بهینه، جایی در امتداد این مرز بیرونی خواهد بود. هیچ جایی درون مرز، از همه ی ظرفیت ممکن استفاده نمی کند.2

گام سوم: ارزش بهینه را محاسبه کنید

حال چگونه می فهمید که نقطه ی بهینه در این محدوده کجا قرار دارد؟ این نقطه در یکی از چندین نقاطِ تقاطعِ خطوط محدودیت است. در این مثال، چهار نقطه ی تقاطع وجود دارد (w، x، y و z). برای تعیین دقیق نقطه ی بهینه، باید تک تک این نقاط را بررسی کنید. از آنجا که می دانید نقاط w و z نشان دهنده ی دورترین نقاط در خطوط محدودیت هستند، می توانید از محاسبات زیر استفاده کنید:

حداکثر سود در نقطه ی w

T = ۰, C = ۷۵

۲۵۰۰T+۲۰۰۰C = حداکثر سود

۱۵۰۰۰۰=(۲۰۰۰x۷۵) + (۲۵۰۰x۰) =سود

حداکثر سود در نقطه ی x

۵ُT+۳C=۵۲۵

C = ۷۵

مقدار C را در معادله ی اول عوض و برای T حل کنید:

ن۵۲۵ = (۵T+(۳x۷۵

ن۳۰۰ =۵T

۶۰ =T

پس در نقطه ی x، تولید عبارت است از ۶۰ میز و ۷۵ صندلی

۲۵۰۰T+۲۰۰۰C = حداکثر سود

(۲۰۰۰x۷۵)+(۲۵۰۰x۶۰)=سود

۱۵۰۰۰۰+۱۵۰۰۰۰= سود

۳۰۰۰۰۰ = سود

حداکثر سود در نقطه ی y

ن۵T + ۳C = ۵۲۵

T = ۱۰۰

در معادله ی اول، مقدار T را ۱۰۰ در نظر بگیرید:

۵۲۵ = (۳C+(۵x۱۰۰

۳C = ۲۵

(این رقم به سمت پایین گرد می شود چرا که نمی توانید قسمتی از صندلی را بفروشید) C = ۸

۲۵۰۰T+۲۰۰۰C = حداکثر سود

(۲۰۰۰x۸)+(۲۵۰۰x۱۰۰) = سود

۲۶۶۰۰۰=۲۵۰۰۰۰+۱۶۰۰۰ = سود

حداکثر سود در نقطه ی z

T = ۱۰۰, C = ۰

۲۵۰۰T+۲۰۰۰C = حداکثر سود

۲۵۰۰۰۰=(۲۵۰۰x۱۰۰)+(۲۰۰۰x۰ = سود

بر پایه ی این محاسبات، تولید بهینه ی میز و صندلی در نقطه ی x است، یعنی ۶۰ میز و ۷۵ صندلی.

این مثال ساده ای از برنامه ریزی خطی است. در واقعیت، بیشتر مسائل تجاری آن قدر متغیر و محدودیت دارند که نمی توانید با محاسبات دستی به راه حل برسید. نرم افزارهای برنامه ریزی خطی می توانند معادلات را سریع و به آسانی حل کنند و اطلاعات مفید فراوانی را درمورد نقاط مختلف در مجموعه ی ممکن ارائه بدهند. می توانید از سناریوهای «چه می شود اگر» هم برای تعیین مسائلی همچون «چه ماشین آلات دیگری باید خریداری شود؟» یا اینکه «آیا باید شیفت اضافه ای نیز برای کارگران در نظر بگیرید یا نه؟»، استفاده کنید.3

پی نوشت:
1.www.chetor.com
2.www.khaandaniha.ir
3.www.ravanpezshk.akairan.com