*-جبر

در ریاضیات، و به طور خاص در جبر مجرد، یک *-جبر (یا جبر پیچشی (به انگلیسی: Involutive Algebra)، که به صورت “جبر ستاره ای”، “استار-الجبرا”، “استار-جبر” و… هم خوانده می شود) یک ساختار ریاضیاتیست که شامل حلقه های پیچشی ${displaystyle R}$ و ${displaystyle A}$ است که ${displaystyle R}$ جابجایی و ${displaystyle A}$ دارای ساختار جبر شرکتپذیر بر روی ${displaystyle R}$ است. جبرهای پیچشی تعمیم دهنده ایده دستگاه اعداد مجهز به مزدوج گیری است مثل: مزدوج مختلط، ترانهاده مزدوج، عملگرهای خطی روی فضای هیلبرت و الحاق هرمیتی. با این حال، ممکن است که یک جبر هیچ پیچشی نپذیرد (یعنی نتوان بر روی آن هیچ پیچشی تعریف نمود).

تعاریف[ویرایش]

نظریه حلقه‌ها → ساختار جبری نظریه حلقه‌ها
مفاهیم پایه‌ای حلقه‌ها • زیرحلقهها • ایده‌آل (نظریه حلقه‌ها) • حلقه خارج قسمتی • ایده‌آل کسری • حلقه خارج قسمتی کلی • حلقه ضربی • ضرب آزاد جبرهای شرکت پذیر • ضرب تنسوری حلقه‌ها همریختی حلقهها • هسته • خودریختی داخلی • درونریختی فروبنیوس ساختارهای جبری • مدول • جبر شرکت‌پذیر • حلقه مدرج • حلقه پیچشی • رسته حلقه‌ها • عدد صحیح ${displaystyle mathbb {Z} }$ • حلقه پایانی ${displaystyle 0=mathbb {Z} _{1}}$ ساختارهای مرتبط • میدان (ریاضیات) • میدان محدود • حلقه غیر-شرکت‌پذیر • جبر لی • حلقه جوردن • نیم-حلقه • نیم-میدان
جبر جابجایی حلقه جابه‌جایی • حوزه صحیح • حوزه بسته صحیح • حوزه ب.م.م. • حوزه تجزیه یکتا • حوزه ایده‌آل اصلی • حوزه اقلیدسی • میدان (ریاضیات) • میدان محدود • حلقه ترکیبی • حلقه چندجمله‌ای • سری توانی صوری نظریه جبری اعداد • میدان اعداد جبری • حلقه اعداد صحیح • استقلال جبری • نظریه اعداد متعالی • درجه تعالی نظریه اعداد p-ادیک و دسیمال • حد مستقیم/حد معکوس • حلقه صفر ${displaystyle mathbb {Z} _{1}}$ • اعداد صحیح به پیمانه ${displaystyle mathbb {Z} /p^{n}mathbb {Z} }$ • p-حلقه پروفر ${displaystyle mathbb {Z} (p^{infty })}$ • حلقه دایره‌ای در مبنای p ${displaystyle mathbb {T} }$ • اعداد صحیح در مبنای p ${displaystyle mathbb {Z} }$ • اعداد گویای p-ادیک ${displaystyle mathbb {Z} [1/p]}$ • اعداد حقیقی در مبنای p ${displaystyle mathbb {R} }$ • اعداد p-ادیک ${displaystyle mathbb {Z} _{p}}$ • اعداد p-ادیک ${displaystyle mathbb {Q} _{p}}$ • p-ادیک سولنوید ${displaystyle mathbb {T} _{p}}$ هندسه جبری • واریته آفین
حلقه ناجابجایی حلقه‌های ناجابجایی • حلقه تقسیم • حلقه نیم-ابتدایی • حلقه ساده • جابجاگر هندسه جبری ناجابجایی جبر آزاد جبر کلیفورد • جبر هندسی جبر عملگری
ن ب و

*-حلقه[ویرایش]

در ریاضیات، یک *-حلقه، حلقه ای است که مجهز به نگاشت ${displaystyle *:Arightarrow A}$ می باشد، که یک پاد-خودریختی و یک پیچش است.

به طور دقیق تر، * باید خواص زیر را برای تمام ${displaystyle x,yin A}$ارضاء نماید:^[۱]

• ${displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$
• ${displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$
• ${displaystyle 1^{*}=1}$
• ${displaystyle (x^{*})^{*}=x}$

به این حلقه حلقه پیچشی هم می گویند. توجه کنید که اصل سوم در اصل اضافی است، چون اصل دوم و چهارم نتیجه می دهند که ${displaystyle 1^{*}}$ نیز یک همانی ضربی است و همانی ها منحصر به فردند.

عناصری چون x* = x را خود-الحاقی خوانند.^[۲]

مثال های کهن الگو از یک *-حلقه، میدان اعداد مختلط و اعداد جبری مجهز به مزدوج مختلط به عنوان پیچش اند. می توان فرم سسکوئی-خطی روی هر *-حلقه تعریف کرد.

همچنین، می توان *-نسخه هایی از اشیاء جبری چون ایده‌آل، زیر حلقه با شرط *-ناوردایی: ${displaystyle xin Irightarrow x^{*}in I}$ و … را نیز تعریف کرد.

*-جبر[ویرایش]

یک *-جبر چون ${displaystyle A}$، یک *-حلقه است،^[۳] که مجهز به پیچش * بوده چنان که جبر شرکت پذیر روی *-حلقه جابجایی ${displaystyle R}$ با پیچش ` باشد، چنان که داشته باشیم:

${displaystyle (rx)^{*}=r’x^{*}forall {r}in R,xin A}$^[۴]

*-حلقه پایه اغلب اعداد مختلط اند (که * به عنوان مزدوجه مختلط عمل می کند).

از اصول موضوعه ها نتیجه می شود که * روی ${displaystyle A}$ در ${displaystyle R}$ مزدوج-خطی است، یعنی برای ${displaystyle lambda ,mu in R}$ و ${displaystyle x,yin A}$:

${displaystyle (lambda x+mu y)^{*}=lambda ‘x*+mu ‘y*}$

یک *-همریختی ${displaystyle fcolon Arightarrow B}$، همریختی جبری است، یعنی با پیچش های ${displaystyle A}$ و ${displaystyle B}$ سازگار است:

• برای هر ${displaystyle ain A}$ داریم ${displaystyle f(a^{*})=f(a)^{*}}$^[۲]

فلسفه *-عمل[ویرایش]

* -عمل روی *-حلقه مشابه عمل مزدوج گیری روی اعداد مختلط است. *-عمل روی *-جبر مشابه الحاق گیری روی جبرهای ماتریسی مختلط است.

نمادگذاری[ویرایش]

پیچش * یک عملگر تکی است به صورت های زیر نمایش داده می شوند:

x ↦ x*،

x ↦ x^∗ (TeX: x^*)

اما به صورت “x*” نوشته نمی‌شود؛ مقاله ستاره را برای جزئیات بیشتر ببینید.

پانویس[ویرایش]

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «*-Algebra». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.