ریاضیات مقدم بر منطق است؟

منطق شهودی، نتیجه­ دیدگاه­های فلسفی براوئر (Brouwer) در مورد مبانی و فلسفه­ ریاضیات است که به شهودگرایی معروف است. رویکرد براوئر در حوزه­ منطق، منجر به بازنگری در مبانی منطق کلاسیک و  شکل گیری منطقی غیر کلاسیک با نام منطق شهودی شد. منظور از شهودگرایی در اینجا، فلسفه­ای است که در اوایل قرن بیستم توسط براوئر ارائه گردید. در آن زمان، منطق کلاسیک چندان رشد نیافته بود. اولین مقاله­ براوئر که به تبیین مبانی رویکرد وی به ریاضیات، ذکر مبانی فلسفی آن و جایگاه منطق و زبان از نظر او اختصاص دارد، در سال 1907 ارائه شد. او در این مقاله، برخلاف سنت رایج در زمان خود، منطق را مقدم بر ریاضیات و مبنای آن ندانست. از نظر او منطق روندی است که در توالی ساخت­های ریاضیات برقرار است و از این رو، به ریاضیات وابسته است. از نظر براوئر، ریاضیات یک فعالیت ذهنی است و اشیای ریاضی در حقیقت ساختمان­های ذهنی هستند که مشخصه­های آنها توسط ساخت­های ذهنی تعیّن می­یابد. در این حالت، زبان هیچ نقشی در فرآیند شکل­گیری ساخت­های ریاضیات ندارد ولی استفاده از زبان برای بیان و در اشتراک گذاشتن این ساخت­ها ضروری است. از طرفی زبان به یاری حافظه می­آید و برای بیان ساخت­های ذهنی ریاضیات و روابط میان آن­ها به کار می­رود. به این طریق است که زبان ریاضیات به وجود می­آید. این زبان همان زبان استدلال منطقی است و بررسی مشخصه­های ریاضی این زبان، منجر به پیدایش چیزی می­شود که همان منطق نظری است.

براوئر به غیر از انتقاد به برتری منطق بر ریاضیات، انتقادات دیگری نیز بر رویکرد کلاسیک به منطق وارد کند. او اصل طرد شق ثالث را که در همه­ سیستم­های منطق کلاسیک برقرار است، قبول ندارد؛ به این معنی که از نظر او چنین نیست که هر مسئله­ ریاضی، صادق یا کاذب باشد. چنین رویکرد متفاوتی به ریاضیات و منطق، نیاز به بازنگری در اصول منطق کلاسیک و بنا نهادن منطقی منطبق بر چنین دیدگاهی را نمایان می­سازد.

 خود براوئر در کار­هایش، منطق شهودی را به عنوان نظامی صوری بنا ننهاد و سیستمی برای آن ارائه نکرد ولی برخی از قضایای این منطق را در کارهای خود و بر اساس اصول حاکم بر فلسفه­ شهودگرایی اثبات کرد. در فلسفه­ شهودگرایی براوئر، مفهوم صدق به مفهوم برهان احاله داده می­شود. از آنجا که بر اساس فلسفه­ شهودگرایی براوئر صدق یک عبارت ریاضی توسط ارائه­ یک برهان مشخص می­شود، معنای ادات منطقی و شرایط صدق جملات مرکب زبان منطق شهودی نیز باید توسط همین مفهوم« برهان­پذیری» بیان شود. در منطق شهودی، یک برهان، نوعی ساخت است؛ به این معنا که برهان داشتن برای یک مسئله ریاضی ، به این معنا ست که ما یک الگوریتم ساختی برای حل آن مسئله داریم و این الگوریتم، طی یک فرآیند ساختی، ما را به حکم مورد نظر می­رساند و  به این طریق، مسئله را اثبات می­کند.

در تأسیس سیستم­های نحوی و معناشناسی منطق شهودی، همان ملاحظات فلسفی مورد نظر براوئر در فلسفه­ شهودگرایی به کار گرفته شده است. مبنای اساسی برای تشکیل سیستم­های منطق شهودی، برقرار نبودن قاعده­ طرد شقّ ثالث است. از این رو نمی­توان منطق شهودی را منطقی «توسعه یافته» و «نیمه کلاسیک» دانست زیرا بسیاری از قضایای منطق کلاسیک در منطق شهودی برقرار نیستند. در منطق شهودی، اعتبار اصل طرد شق ثالث که یکی از قضایای ابتدایی منطق کلاسیک است، انکار می­شود. در نتیجه­ این رویکرد، دیگر نمی­توان از برهان خلف برای اثبات قضایا استفاده کرد. از این رو، منطق شهودی به عنوانی نوعی از منطق­های «غیرکلاسیک» مطرح می­گردد. در حقیقت، پاره­ای از قضایای منطق کلاسیک در این نظام برقرار نیست ولی عکس آن برقرار است؛ یعنی تمامی قضایای منطق شهودی، در منطق کلاسیک قابل اثبات هستند. بنابراین منطق شهودی، به عنوان منطقی غیر کلاسیک تعریف می­شود که قضایای آن، زیرمجموعه­ قضایای منطق کلاسیک می­باشند. در ادامه و پیش از ورود به بحث در مورد مبانی فلسفی منطق شهودی و شهودگرایی، دو رویکرد مهم در مورد ارتباط میان منطق و ریاضیات شرح داده خواهد شد.

 

شهودگرایی در برابر منطق­گرایی و صورت­گرایی

در این قسمت، دو رویکرد مهم به مبانی ریاضیات که در مقابل رویکرد شهودگرایی قرار می­گیرند، بیان می شود. شرح این دو رویکرد به این دلیل مورد توجه است که وجوه اختلاف میان نظریات مبنایی را در مورد ریاضیات و منطق مشخص می کند، و به گونه­ای، مرزهای دیدگاه شهودگرایی را با دیدگاه­های دیگر روشن می­سازد.

هیتینگ (Heyting) (Heyting, 1971) مباحثه­ای ترتیب می­دهد که در آن، از هر سه دیدگاه شهودگرایی، منطق­گرایی و صورت­گرایی نماینده­ای حضور دارد. طرف اصلی بحث، ظاهراً خود هیتینگ است که نماینده­ی شهودگرایان است و نمایندگان دیگر دیدگاه­ها به طرح سوالاتی دربارة فلسفه­ شهودگرایی و در پاره­ای موارد نقد آن و بیان رویکرد خود می­پردازند. هیتینگ با طرح این مباحثه، به بیان مؤلفه­های اساسی فلسفه­ شهودگرایی و منطق شهودی می پردازد و وجوه مشابهت و تمایز آن را با دیگر دیدگاه­ها بیان می­کند. در اینجا پس از معرفی دو رویکرد منطق­گرایی و صورت­گرایی به بیان دیدگاه­ شهودگرایی در مقابل هر یک از این دو رویکرد پرداخته خواهد شد.

 

منطق­گرایی

از اواخر قرن نوزدهم، یعنی از حدود سال 1875 تا دهه سی قرن بیستم، شاهد تلاش­های جدی و مستمری در مورد مبانی ریاضیات هستیم. در این بازه­ زمانی، سه رویکرد مبنایی، و البته متفاوت، به مبانی ریاضیات شکل گرفته­اند: منطق­گرایی، شهودگرایی و صورت­گرایی. این سه رویکرد عمده، پس از ارائه­ اولین اصل ناتمامیت گودل در سال 1931، در حوزه­هایی دچار دگرگونی شد و تا مباحث اخیر در مورد مبانی ریاضیات ادامه یافت.

کانت دانش ریاضیات را نوعی دانش پیشینی می­داند که بر پایه­  شهود قرار دارد. فرگه (Frege) با این نظر کانت که شهود مکانی را پایه­ هندسه­ اقلیدسی می­داند موافق است ولی برخلاف کانت، علم حساب را فاقد پایه­ شهودی می­داند. از نظر فرگه، حقایق حسابی، حقایقی منطقی هستند و تنها می­توانند به­واسطه­ ابزار­های منطقیِ صرف دانسته شوند. فرگه در کتاب «مبانی حساب» قصد دارد نشان دهد که حساب، شاخه­ای از منطق است و نیازی به تمسک به دیگر مبانی برهانی ندارد. فرگه برای بیان خود دو دلیل اصلی دارد. یکی اینکه، بر خلاف آنچه در مورد اصل توازی در هندسه­ اقلیدسی می­توان بیان کرد، با فرض نقیض هر یک از اصول علم حساب، به ناسازگاری میان آن اصل و دیگر اصول می­رسیم. دلیل دیگر اینکه این اصول به قدری کلی هستند که می­توان آنها را در مورد همه چیز به کار برد. یعنی علم حساب و شمارش در مورد هر چیزی که به اندیشه در آید، به کار می­رود و از این رو، عمومیت و کلیتی مانند قوانین منطق دارد. فرگه آگاهی ما به صدق اصول موضوعه منطق و روش­های استنتاج را نوعی دانش پیشینی می­داند.

در این زمان، ددکیند (Dedekind) روی برنامه­ای دیگر در منطق­گرایی کار می­کرد. او برای اولین بار سیستمی با اصول موضوعه برای اعداد طبیعی ارائه داد. در ریاضیات مدرن، مدل استاندارد ددکیند-پئانو برای اعداد طبیعی پذیرفته شده است. ددکیند نشان داد که با در نظر گرفتن مدل استاندارد برای حساب درجه دوم پئانو، هر جمله­ای از این زبان یا نقیض آن، نتیجه­ای منطقی از اصول موضوعه­ پئانو هستند. ددکیند اعداد طبیعی را نتیجه­ پردازش ذهن انسان و ساخته آزاد ذهن او می­داند. او اثبات می­کند که مجموعه­ بینهایت وجود دارد. تعریف او از چنین مجموعه­ای به این صورت است که هر مجموعه­ای که نگاشتِ یک به یک بین خودش و یک زیرمجموعه­­ محض از آن وجود داشته باشد، بی­نهایت است. وجود چنین مجموعه­ای برای وجود یک سیستم نامتناهی لازم و کافی است. در نظریه­ مجموعه­های مدرن، وجود چنین مجموعه­ای، یکی از اصول موضوعه است ولی ددکیند باید نشان می­داد که این اصل، نتیجه­ای از منطق به آن طریق، اثبات شدنی است.  یک تفاوت مفهوم مورد نظر ددکیند با درک رایج فعلی این است که در نظر پذیرفته شده­ فعلی، منطق باید از اظهار نظرهای هستی­شناسی تهی و موضوعش خنثی باشد. از این­ رو منطق نمی­تواند وجود اعداد طبیعی یا هر قسمت دیگر از ریاضیات را نتیجه دهد.

فرگه در ادامه­ کار خود، به یک زبان منطقاً کامل نیاز داشت که مشخصه­های منطقی هر گزاره­ای که در این زبان اظهار پذیر است، از فرم جمله­ای که در آن به کار رفته است، به راحتی قابل تشخیص باشد و همچنین، تفسیر هر عبارت به اندازه­ای واضح باشد که جای هیچ معنا یا فرض ضمنی را باز نگذارد. از این رو می­توان کار فرگه را دارای سه بخش دانست. در ابتدا بیان یک زبان منطقاً کامل که شامل تعریف اصطلاحات منطق نیز باشد، سپس تشخیص و قرار داد جملاتی به عنوان اصول موضوعه و نیز قواعد استنتاجی که در آن سیستم معتبر شناخته می­شوند و در نهایت، نمایش اینکه قواعد حساب، از این اصول موضوعه و با استفاده از قواعد استنتاج معتبر در آن استنتاج می­شوند.

در مورد کار فرگه، می­توان گفت که منطق­گرایی او به عنوان نگرشی در فلسفه­ ریاضیات محسوب می­شود که علم حساب را توسیع منطق در نظر می­گیرد. گودل با اثبات اصل ناتمامیت (Incompiliteness Theorem) خود که نشان می­دهد اگر ریاضیات سازگار است بعضی از قضایای آن قابل استنتاج نیستند، برنامه­ منطق­گرایان را ناکام می­گذارد. زیرا منطق درجه اول، هم سازگار است و هم تمامی قضایای آن اثبات پذیرند و از این رو ریاضیات نمی­تواند توسیعی از منطق درجه اول باشد. در حقیقت، در هر سیستم منطقی سازگار، جملات حسابی درستی وجود دارند که در آن سیستم برهان­پذیر نیستند.

 

صورت­گرایی

مرحله­ مهمی در توسعه و پیشرفت ریاضیات، کار هیلبرت (Hilbert) در سال 1899 با نام «مبانی هندسه» بود. او با این نظر روزگار خود موافق بود که صدق منطقی به معنای سازگاری است. از نظر هیلبرت، هر شیء ریاضیِ سازگار وجود دارد. یعنی اگر اصولی فرضی با یکدیگر در تناقض نباشند، هم صادقند و هم چیزهایی که به­واسطه­ آنها تعریف شده­اند، وجود دارند. در حقیقت از نظر هیلبرت، عدم تناقض معیار صدق و وجود است. هیلبرت همواره به مسائل بنیادی در کار ریاضی خود اهمیت نشان می­داد. او در ابتدا به نظریات منطق­گرایی ددکیند علاقه نشان داد ولی با کشف پارادوکس­های موجود در آن، تغییر عقیده داد (Snapper, 1979: 5). او پس از آن سعی کرد که با براهین فرا ریاضیاتی (Meta-Mathematical) از سازگاری، نظریه­های مبنایی ریاضیات مثل نظریه­ مجموعه­ها را به دست آورد. او این کار را در سال 1920 و با عنوان برنامه­ نظریه­ برهان (Proof-Theoretic Programme) شروع کرد.

از نظر هیلبرت، ریاضیات تنها استخراج فرمول­های معتبر از مجموعه ای از قواعد است. همچنین به بیان او، نمادها و علائم به کار رفته در ریاضیات فاقد معنا هستند. هیلبرت در کار خود، بی نهایتِ بالفعل را به فرا ریاضیات انتقال داد و محدوده­ کار ریاضیات را به فضایی فاقد بی نهایت بالفعل نسبت داد. از نظر صورت­گرایان، ریاضیات می­تواند به قواعدی برای ساختِ فرمول تحویل یابد. در چنین وضعی، هیچ احتیاجی به ارجاع به معنای فرمول­های ساخته شده نیست. بر طبق نظر صورت­گرایان، یک سیستم سازگار و دارای هستی­شناسی قوی، همه­ آن چیزی است که برای به کار بستن ریاضیات مورد نیاز است. هیلبرت بر آن بود که سازگاری این سیستم صوری را در یک سیستم متناهی اثبات کند. او برای این هدف، نظریه­ برهان خود را طراحی کرد که هدفش نشان دادن این مطلب بود که سیستم­هایی صوری نمی­توانند بر طبق قواعد خود به نتیجه­ای بی­معنا و محال برسند.

نظریه­ برهان با این پیشنهاد هیلبرت آغاز شد که صدق و کذب برهان­های ریاضی را که شامل استدلال­های نامتناهی هستند توسط ابزارهای متناهی بررسی شود. در نظریه­ی برهان، خود براهین مورد بررسی قرار می‌گیرند و موضوع ریاضیات می شوند. او می خواست به این طریق، سازگاری ریاضیات کلاسیک را توسط ریاضیات متناهی، اثبات کند. او با فرمول بندی برنامه­ خود نتیجه گرفت که ریاضیات کلاسیک می تواند در سیستم­های صوری نظریه­ مجموعه­ها یا نظریه­ انواع بیان شوند و این سیستم­ها می توانند توسط روشی متناهی توصیف گردند. از نظر هیلبرت، به این طریق می­شد مبنایی برای ریاضیات یافت که هم مورد قبول شهودگرایان باشد و هم ریاضیدانان کلاسیک (Snapper, 1979 : 5-6). ولی گودل با اثبات دومین اصل نامتناهی، نشان داد که چنین برهان سازگاری که مورد نظر هیلبرت است ممکن نیست(Kennedy, 2007, ch. 2-2) .

 

نقد براوئر بر منطق­گرایی و صورت­گرایی

انتقاد براوئر به منطق­گرایان این است که منطق را به عنوان مبنا در نظر گرفته­اند و برای آن، ماهیتی زبانی قائل شده­اند. از نظر براوئر، زبان منطق، امری عرَضی برای ریاضیات است و به هیچ وجه نمی­توان ریاضیات را به زبان ریاضیات یا همان منطق تقلیل داد. براوئر باور دارد که ریاضیات، حاصل فعالیت­های ذهنی است و منطق، قواعد موجود در ساخت­های ریاضی است که موجودیت و اعتبار آن­ها وابسته به ریاضیات است؛ اما منطق­گرایان درصدد بودند که ریاضیات را حاصل فعالیت­های منطقی بدانند و به این طریق، اساس ریاضیات را بر منطق قرار دهند. براوئر منطق­گرایان را به دلیل ارائه­ برخی براهین غیر ساختی برای قضایای منطق مورد انتقاد قرار می­دهد و چنین برهان­هایی را بی­اعتبار می داند و آن­ها را نمی­پذیرد.

برنامه­ هیلبرت به عنوان تلاشی میانی، بین ریاضیات کلاسیک و ریاضیات شهودگرایانه قرار دارد. انتقادات براوئر به برنامه­ هیلبرت در ریاضیات این بود که از نظر صورت­گرایان، دلیل انتخاب پاره­ای از اصول به عنوان اصول اساسی ریاضیات و ترجیح آن­ها بر دیگر اصول مشخص نیست. تنها پاسخ موجود، سازگار بودن آن اصول و مبنایی­ بودن آنها بر اساس درک متعارف است. در این حالت، صدق به عاری بودن از تناقض تحویل می­یابد ولی در دیدگاه شهودگرایی، صدق به شهود فاعل شناسنده مربوط است. در شهودگرایی براوئر گزاره­ A صادق است چون ساخته شده است ولی در صورت­گرایی، این گزاره صادق است چون به تناقض منجر نمی­شود. همچنین براوئر به براهین صورت­گرایان در اثبات سازگار بودن یک سیستم نیز انتقاداتی داشته ­است که از موضوع بحث این مقاله خارج است.

 

دیدگاه­های فلسفی براوئر

کارهای براوئر به این دلیل مورد توجه فیلسوفان بوده است که ریاضیات او بر اساس یک شناخت­شناسی خاص، که همان مفهوم شهودگرایی اوست، یک هستی­شناسی ویژه که مربوط به هستی­شناسی ریاضیات و ساختی بودن اشیاء ریاضی است و همچنین براساس نقشی است که از آگاهی ریاضیات ارائه داده است. دیدگاه های او منطق و ریاضیات کلاسیک را در مواردی به چالش کشیده است و نظر او با نظر رایج در مورد ماهیت منطق و زبان متفاوت است.

    شهودگرایی براوئری را می­توان مبنای اساسی پیدایش منطق شهودی دانست. این شهودگرایی، در ارتباط بسیار نزدیکی با ساخت­گرایی او قرار دارد. از نظر براوئر، اشیای ریاضی هنگامی وجود دارند که ساخته شوند و در حقیقت، توسط ذهن «آفریده» شوند. مفهوم «ساختی بودن» (Constractive) در فلسفه او به عنوان یک مفهوم پایه در نظر گرفته شده و تعریف نشده است ولی می­توان تشخیص داد که آیا یک برهان ساختی برای گزاره یا شیئی ریاضی وجود دارد یا خیر. از نظر براوئر، خودِ این فرآیند آفرینشیِ ریاضیات، فاقد زبان است و فعالیتی صرفاً ذهنی است. در رویکرد براوئر، لزوم وجود زبان تنها برای برقراری ارتباط میان افراد و به خاطرسپاری و بازیابی آن براهین و اشیایی است که پیشتر و طی فرآیندی ساختی، در ریاضیات ساخته شده­اند و به این طریق، به وجود آمده­اند (فان آتن، 1387 : 53-23).

ریاضیات شهودگرایانه­ براوئر، مبانی فلسفی مشخصی دارد که وی از زمان شروع فعالیت خود در مقالات و سخنرانی­های مختلف به آن­ها اشاره می­کند. کارهای براوئر در ریاضیات شهودگرایانه و پایه­ریزی آن، از یک طرف در نتیجه­ دیدگاه­های فلسفی او در مورد ریاضیات و از طرف دیگر، با انتقادات او به ریاضیات کلاسیک شکل می­گیرد. در ریاضیات براوئر هم جنبه­ مثبت، یعنی ایجاد یک سامان ریاضیات شهودگرایانه، و هم جنبة منفی، یعنی نفی و رد برخی احکام ریاضیات کلاسیک وجود دارد. در مورد قسمت مثبت کارهای براوئر باید گفت که نظریات او شامل هر دو جنبه­ فلسفی و ریاضی می­شود و در حقیقت، هر دوی این جوانب با تلفیق یکدیگر، براوئر را به هدف خود می­رساند. او در مورد جنبه ریاضی کار خود، یک نظریه ساختی برای ریاضیات متناهی (Finite Mathematics)، به همراه نظریه­ مجموعه­های جدیدی ارائه کرد. او این دستاوردهای ریاضی را توسط رویکرد فلسفی شناخت­شناسانه و هستی­شناسانه­ خود استوار کرد. این نظریات فلسفی براوئر، از یک رویکرد پدیدارشناسان (Phenomenological) حاصل می­شوند.

 

پدیدارشناسی براوئر

تمامی نتایج و نظریات براوئر در بیان ریاضیات و منطق شهودگرایی به گونه­ای نتیجه­ای از یک مبنای پدیدارشناسانه است که خود، از تجرید آگاهی اولیه ناشی می­شود. از نظر براوئر، ریاضیات نوعی آفرینش ذهنی است که مستقل از تجربه و بر همه چیز مقدم است. از نظر براوئر، تنها شهودی که می­توان آن را مقدم بر ریاضیات در نظر گرفت، شهود زمان است که وجود آن، شرطی مبنایی برای آفرینش ساخت­های ریاضیات است. شهود از زمان چیزی است که پیش از اینکه زبانی داشته باشیم هم وجود دارد. ریاضیات که در نهایت بر اساس این شهود قرار دارد، مطالعه­ ساختمان­هایی است که فاقد زبان است و نتیجه­ فعالیتی غیر زبانی است (فان آتن، 1387 :183-171)

بر اساس نظر براوئر، آگاهی اولیه چیزی رویا مانند (Dream-like) است که میان ادراکات حسی شخص وحالت اولیه ذهن او جریان دارد. به این معنی که توجه ذهن که در ابتدا معطوف به خود شخص است، به سمت ادراکات حسیِ صورت گرفته متمایل می­شود و بدین طریق، آگاهی بالفعل آغاز می­گردد. در طی این مراحل، فاعل شناسنده (Subject) میان مشخصه­های گوناگونِ آگاهی به همراه محتوایشان، تمایز می­نهد و میان آنها یک ترتیب و نظم برقرار می­سازد. فاعل شناسنده، این فرآیند را ادامه می­دهد و از این طریق، یک توالی دقیق ذهنی را شکل می­دهد. این توالی­ها به نوبه­ خود، ساختمان­هایی هستند که قالب آگاهیِ فاعل شناسنده از اشیاء تجربی معمولی را تشکیل­ می­دهند. براوئر برای توضیح رویکرد خود، از مفهومی به نام توجه علّی (Casual Attention) استفاده می­کند. از نظر او، فاعل شناسنده به برخی از تشابهات در میان آگاهی­های متمایز خود پی می­برد. سپس این تشابهات را با آگاهی اولیه­ خود که به گونه­ متوالی و مرتبط با یکدیگر و یا در طی یک زنجیره علّی حاصل شده­ است، اسلوب­بندی می­کند. به این طریق، فاعل شناسنده آگاهیِ خود را از جهان ِدارای نظم و ترتیب به دست می­آورد. بنابراین، علم تجربی، عکس العمل ذهن نسبت به این آگاهی علّی است.

از نظر براوئر، در چنین روند پدیدارشناسانه­ای است که ریاضیات و یا شهود پایه­ای ریاضیات به وجود می­آید. هنگامی که آگاهی با دو چیز متمایز از هم مواجه می­شود، تمامی کیفیات را از آن دوگانگیِ به وجود آمده حذف می­کند و نتیجه اینکه تنها دو-تا بودن و تمایز میان دو چیز مجزا از هم باقی می­ماند. این شهود بنیادی از دوگانگی یا دوتایی-بودن (Two-ity)، همان شهود مبنایی ریاضیات است. اعداد و اشیاء متناهی، از دست­کاری کردن و تکرار کردن این دوتاییِ خالی از هرگونه کیفیت به وجود می­آیند. این دوتایی، اساس تمام اعداد حقیقی و مبنای پدیدار شناسانه­ هویاتِ حسابیِ (Arithmetical Identity) معمول است. بنابراین ریاضیات، فعالیتی غیر تجربی، مجرد و کاملاً مستقل است.

براوئر بیان پدیدارشناسانه­ خود را ادامه می­دهد و به دومین عمل شهودگرایانه اشاره می­کند که منجر به ایجاد هویات جدید ریاضی می­شود. در این عمل شهودگرایانه، با دنباله­های نامتناهی و پیش­رونده از هویاتی که پیشتر ساخته شده­اند و نیز فرض ویژگی­هایی برای این هویات مواجه هستیم. در نتیجه این عمل است که به انواع (species) ریاضیاتی می­رسیم. او همچنین مفاهیمی مثل « پیوستگی»، «هویت» و… را از جمله مفاهیم پایه در نظر می­گیرد و آن­ها را تحویل­ناپذیر به دیگر مفاهیم می­داند. در نتیجه، براوئر یک بیان کامل از ساخت­گرایی پدیدارشناسانه ارائه می کند. برای براوئر، ریاضیات اساس و چهارچوب فعالیت­های تجربی نیست بلکه فعالیتی مستقل و بدون هیچ­گونه نقش تجربی در آن است. در ادامه، پیش از بیان رویکرد هستی­شناسانه­ براوئر، به بیان توضیحی مختصر در مورد مفهوم ساخت­گرایی نزد او پرداخته­ خواهد شد.

 

ساخت­گرایی براوئر

فلسفه­ شهودگرایی براوئر، اصولاً به عنوان روشی ساختی در ریاضیات مطرح است. براوئر در رساله­ دکتری خود با عنوان «مبانی ریاضیات» به بیان نظریات خود در این مورد پرداخته است. از نظر او، ریاضیات با ساخت­هایی سر و کار دارد که به طور مستقیم به ادراک ذهن در می­آیند. خود این فرآیند، فاقد هر گونه زبانی است و تنها توسط شهود مستقیم انجام می­گیرد. از این رو احکام ریاضی، خارج از فرآیند ساختیِ ذهن، بی­معنی هستند. اشیاء یا احکامی در ریاضیات معنا دارند که بتوان توسط فرآیندی شهودی به ساختن آن­ها پرداخت. تنها برای این احکام می­توان ارزش صدق در نظر گرفت. در نتیجه، اگر برای گزاره­ای ریاضی هیچ گونه برهان ساختی، نه برای خودش و نه برای نقیضش، نباشد، نمی­توان گفت که یا خود آن گزاره صادق است و یا نقیضش. ریاضیات، فرآیندی ذهنی است و در طی این فرآیند، اشیاء ریاضی ساخته می­شوند. یعنی بدون این فرآیند ساختی، هیچ شیء ریاضی وجود نخواهد داشت. در مورد اعداد طبیعی می­توان این­گونه بیان کرد:  اندیشیدن به یک واحد مجزا و سپس واحد مجزای دیگر و ترکیب آن دو و ادامه­ این فرآیند، می­تواند ما را به لحاظ ساختی به اعداد طبیعی برساند. لزومی ندارد فرآیند یاد شده یک به یک انجام گیرد. برای مثال اگر عدد 10001000 را بخواهیم به لحاظ ساختی بسازیم، شاید به سال­ها زمان نیاز داشته باشیم. ولی کافی است که الگوریتمی ساختی داشته باشیم که بتواند ما را به آن شیء ریاضی برساند. این نکته حائز اهمیت است که براوئر کارکرد شهود را تنها در ساختن اشیاء ریاضی و محدود به همین امر می­داند. یعنی شهود باعث دستیابی به دانش ریاضی خاصی نمی­شود. در فعالیت ریاضی مورد نظر براوئر، قوای دیگری نیز مانند قوه­ حافظه دخیل هستند.

 مثال زیر می­تواند به روشن­تر شدن مفهوم ساختی ­بودن که در فلسفه­ براوئر مفهومی تعریف نشده است کمک کند. فرض کنید  یک حکم ریاضی است که نه اثباتی برای خودش وجود دارد و نه برای نقیضش. حال  را این گونه تعریف می­کنیم :

 

  اگر  صادق باشد         0

                                             

   در غیر این صورت        1

 

از آنجا که صدق یا کذب  معلوم نیست، هیچ گاه نمی­توان با یک برهان ساختی  را معین کرد. چنین تعریفی اگر چه به ظاهر مقبول به نظر می­رسد، از نظر ساخت­گرایی قابل قبول نیست زیرا به هیچ طریق ساختی­ نمی­توان مقدار را مشخص کرد.

براوئر و هستی­شناسی ریاضیات

همانند آنچه در فلسفه­ کانت مشاهده می­شود، ریاضیات برای براوئر، دانشی است ترکیبی و پیشین  (Synthetic Apriori) که بر شهود محض بنا شده است. ریاضیات پیشینی است زیرا حاصل اولین فعالیت­های ذهن انسان است و در فرآیندی پدیدارشناسانه رخ می­دهد. همچنین ریاضیات، دانشی ترکیبی است زیرا به ما معرفت جدیدی می­دهد. ریاضیات از لحاظ شناخت­شناسانه کاملاً از داده­های حسی مستقل است و برای علوم تجربی به عنوان یک مبنای لازم تلقی می­شود. استقلال ریاضیات از داده­های تجربی به این دلیل است که فرآیند ساخت ریاضیات به خود متکی است و هیچ­گاه برای تایید یا ردّ آنچه در ریاضیات به دست می­آید، به داده­های تجربی رجوع نمی­شود. از نظر براوئر، با رعایت فرآیند بیان شده برای ساخت اشیاء ریاضی از داشته­های قبلیِ خود، هیچ­گونه محدودیتی ندارد و اشیائی که ساخته می­شوند، کاملاً مجردند و هیچ­گونه تاثیری از داده­های حسی نمی‌پذیرند.

هستی­شناسی ریاضیات برای براوئر، نتیجه­ای از رویکرد شناخت­شناسانه­ او به فرآیند شکل­گیری ریاضیات است. از نظر براوئر، هر شیئی که توسط فرآیند ساختی ریاضیات حاصل شود، وجود دارد. در حقیقت، براوئر وجود را به امکان ساخته شدن (Constructability) منوط کند، و یا با آن پیوند می‌زند. اشیاء ریاضی اگر ساخته نشده باشند وجود نیز نخواهند داشت

(240-243 Dummet, 1975:).

 

انتقادات براوئر به ریاضیات کلاسیک

هر گونه نظر و عقیده­ای برای بازبینی در ریاضیات، باید در ابتدا به ایرادهای وارد بر آنچه که پیش از این بازبینی وجود داشته است، پاسخ گوید و سپس تعیین کند که این اشتباهات یا پارادوکس­ها در نتیجه­  کدام یک از اصول یا مفاهیم بنیادی حاصل شده­اند. در نهایت، مشخص سازد که چگونه با برقراری پیشنهاد  خود برای جایگزینی آن اصل یا اصولی که منجر به تناقض شده­اند، مشکلات عنوان شده حذف می­شوند.

 مراحل کار براوئر دقیقاً مشابه همین روند یاد شده است. براوئر با تکیه بر مبانی فلسفی خاص خود، انتقاداتی بر ریاضیات کلاسیک وارد کرد و کوشید این ایرادات را با پایه­ریزی ریاضیات شهودگرایانه حل کند. کار او را می­توان به گونه­ای بازنگری در مبانی ریاضیات بر طبق مبانی شهودگرایانه و ساخت­گرایانه­ خود دانست. منظور از ریاضیات کلاسیک در اینجا، ریاضیات مدرنی است که در قرن نوزدهم و بیستم، و بدون اساس قرار دادن مفهوم «شهود» برای ریاضیات، به دست آمده است.

براوئر بر اساس فلسفه­  شهودگرایی خود توانست مشکلات موجود در مبنای نظری اعداد طبیعی، نظریه­ مجموعه­ها و هستی­شناسی اشیاء ریاضی را از میان بردارد. براوئر با تحلیل موقعیتی که در مبانی ریاضیات وجود داشت، نتیجه گرفت که کاربرد منطق به عنوان مبنای ریاضیات نامعتبر است بلکه این مبنا باید در ساختمان­های فاقد زبان ذهنی و شهود زمان قرار داده شود. او همچنین بیان کرد که چیزی که برای ریاضیات ایجاد مشکل می­کند، اصل طرد شق ثالث و کاربرد آن برای موارد نامتناهی است.

براوئر ریاضیات را فاقد زبان می­دانست و به طور مبنایی، با رویکرد دیگر ریاضیدانان در مورد زبان ریاضیات مخالف بود. انتقادات او به زبان و منطق، بسیار اساسی و مبنایی بود. از نظر براوئر، ریاضیات علاوه بر صورت، محتوا نیز دارد. ولی این محتوا، نه اشیائی مستقل از ذهن بلکه ساخته­های ذهن هستند و هیچ استدلال ریاضی نمی­تواند وجود مستقل از ذهن آنها را فرض بگیرد. او هر آنچه از ریاضیات را که در نتیجه­ اعمال منطق کلاسیک بر داده­های ریاضی به ­دست آمده باشد قبول نمی­کند  زیرا به اعتبار یکی از اصول اساسی این منطق که همان اصل طرد شق ثالث است، باور ندارد. از نظر او نمی­توان برهانی را که تنها شامل تناقض نباشد قبول کرد، زیرا هم اعتبار اصل طرد شقِّ ثالث را قبول ندارد و هم اینکه معتقد است از آن­جا که در چنین برهانی هیچ روشی برای ساختِ آنچه اثبات می­شود وجود ندارد، نمی­توان ادعا کرد که نتیجه مورد نظر حاصل ­شده­ است.(Blum, 2005: 7-8).

از نظر براوئر، ریاضیات فرآیندی است که در آگاهی شخص صورت می­گیرد. پس ممکن است اعتبار آن دسته اصول منطقی و ریاضی­ که در فضای متناهی برقرار هستند، در فضای نامتناهی دیگر بر قرار نباشد. از نظر براوئر، اصول این همانی، محال بودن تناقض و قیاس، هم در مورد فضای متناهی و هم نامتناهی اعتبار دارند ولی اصل طرد شق ثالث، تنها در فضاهای متناهی اعتبار دارد.

 

براوئر و ارتباط ریاضیات، زبان و منطق

براوئر در مقاله­ 1907 خود، دیدگاهش در مورد ارتباط میان ریاضیات، زبان و منطق را بیان کرده است (Brouwer, 1907). تمامی عقاید براوئر در مورد منطق شهودی، در مفهوم این ارتباط نهفته است. برای براوئر، ریاضیات محض اصولاً بر اساس ساخت­های ذهنی مشخص قرار دارد. براوئر بیان می­کند که تنها مبنای ممکن برای ریاضیات، باید در طی فرآیند ساخت و تحت الزام اینکه شهود، کدام ساخت را مجاز می­داند و کدام یک را مجاز نمی­داند، جستجو شود. براوئر نشان داده است که چگونه طی چنین فرآیندی، حساب آنالیز و توپولوژی ریاضیات می­توانند ساخته شوند. براوئر هر اندیشه­ای را که خود قسمی از ریاضیات نیست، کاربردی از ریاضیات می­داند؛ به این دلیل که هرگاه ما آگاهانه به دو چیز مجزا می­اندیشیم، با طرح همان مفهوم دوتایی مجزا این کار را انجام می­دهیم که، همان­طور که بیان شد، اساس ریاضیات است.

از نظر براوئر، با به کارگیری زبان می­توان فرآیند ساختی ریاضیات را شرح داد ولی خود این فرآیند به اجزای زبانی بستگی ندارد و در نتیجه، هیچ امرِ صادقی در مورد این فرآیند ساختی ریاضیات، صدق خود را مدیون واقعیات زبانی نیست. برای مثال، اصول موضوعه می­توانند برای توضیح یک ساخت ذهنی استفاده شوند ولی نمی­توانند به آن ساخت ذهنی موجودیت ببخشند. به همین دلیل، برخی از اصول موضوعه­ مشخصی که در ریاضیات کلاسیک و مخصوصاً در برنامه­ منطق­گرایانی چون فرگه و راسل مورد نظر است، توسط فلسفه­ شهودگرایی براوئر رد می­شوند. برای مثال، اصل کمال برای اعداد حقیقی را در نظر بگیرید که می­گوید: اگر یک مجموعه­ غیر تهی از اعداد حقیقی یک کران بالا داشت، آنگاه یک کوچکترین کران بالا دارد. در این مثال، ما هیچ روش کلی که به ما اجازه دهد به طور ذهنی یک کوچک ترین کران بالا بسازیم در اختیار نداریم؛ در حالیکه وجود این حد، توسط اصل کمال برای اعداد حقیقی ادعا می­شود و به همین دلیل، از نظر فلسفه­ ریاضیات شهودی براوئر قابل قبول نیست (Van Atten, 2009: 2.1).

از نظر براوئر، شهود ریاضیات امری مفهومی نیست و نمی­تواند توسط زبان جایگزین شود. در حقیقت، هیچ شیء نمادینی نمی­تواند محتوای لحظه­  آگاهی را گزارش دهد. براوئر در مورد زبان صوری برای ریاضیات این نظر را دارد که همراهی زبان صوری و ریاضیات مانند همراهی یک نقشه­  هوایی با فرآیند تحلیل جوی است. در این صورت، فرآیند صوری­سازی ریاضیات اگر چه کاربرد فراوانی دارد  ولی هیچ معنای بنیادی برای ریاضیات ارائه نمی­دهد. براوئر می­گوید که ما به طور عملی، هم برای در اشتراک گذاشتن نتایج با دیگران و هم برای یادآوری و بازسازی نتایج قبلی خودمان در ریاضیات به زبان نیازمندیم ولی تاکید می­کند که هر چه استفاده­ ما از این زبان کمتر باشد بهتر است.

منطق در اندیشه­ براوئر، الگوهای مشخصی را برای ضبط فعالیت­های ما در ساخت­های ریاضیات سازماندهی می­کند. با این بیان، منطق تعبیر، کاربردی از ریاضیات به زبان ریاضیات است. منطق الگوهایی را بررسی می­کند که منجر به دستیابی به نتایج درست می­شود. هدف منطق، برقراری الگوهایی کلی است که اگر در مورد ساخت­های ریاضیات به کار روند و آن ساخت ریاضی اصلی حامل یک صدق ریاضی باشد، جمله­ای که از اعمال این الگو بر آن حاصل می­شود نیز حامل صدق باشد. منطق، صدق ساخت­های ریاضیات را از مقدمات استدلال به نتیجه­ استدلال منتقل می­کند. ولی برخلاف منطق کلاسیک، از نظر براوئر آنچه که از مقدمات به نتیجه منتقل می­گردد، یک تواناییِ ساخته شدن (Constructability) است نه نوعی از صدق که صرفاً از مقدمات به نتیجه تسری یابد. به بیان دیگر، در این حالت هر ساخت مشخص در ریاضیات می­تواند بدون نیاز به ساخت دیگری ساخته شود و مانند دیگر ساخت­های ریاضیات و مستقل از بقیه، وجود خواهد داشت.

 نکته­ اساسی این است که براوئر، ماهیت منطق را توصیفی (Descriptive) می­داند و به هیچ وجه برای آن حیثیت آفرینندگی (Creative) قائل نیست. او معتقد است که به وسیله­ منطق هرگز نمی­توان صدق­های ریاضی را به گونه­ای معین کرد که توسط فرآیندی ساختی نتوان به آن دست یافت. از این روست که در توسعه­ ریاضیات شهودی، منطق هرگز نمی­تواند یک نقش اساسی بازی کند. در حقیقت، در رویکرد براوئر به منطق و ریاضیات، منطق، تابع ریاضیات است نه اینکه ریاضیات، تابع منطق باشد. اینجاست که تفاوت در رویکرد به منطق در فلسفه­ شهودی براوئر، با رویکرد کلاسیک به منطق، که منطق را به عنوان اساس و مقدم بر هر چیز در نظر می­گیرد، مشاهده می­شود. از نظر براوئر، به این دلیل که منطق مانند هر اندیشه­ دیگری کاربردی از ریاضیات است، ریاضیات را پیش­فرض خود می­گیرد (Van Dalen, 2002 : 10-12).

 

رد اصل طرد شق ثالث

براوئر بارها به این مسئله اشاره می­کند که یک اشتباه ریاضیات کلاسیک، ادعای وجود چیزهایی است که در واقع وجود ندارند. او دلیل این مسئله را به در نظر نگرفتن تفاوت میان اشیاء متناهی و نامتناهی نسبت می دهد. ریاضیات در ابتدا تنها به اشیاء و سیستم­های متناهی مربوط بود که اصل طرد شق ثالث(Excluded Middle) در آن­ها برقرار و معتبر بود. از نظر براوئر، قاعده­ طرد شق ثالث، تنها در حالت متناهی فرمول­بندی شده است و ما برخلاف دیگر قواعد منطق، در حالت نامتناهی مجاز به استفاده از این قاعده نیستیم(Brouwer, 1923 : 14).

براوئر در کارهای خود، قواعد منطق کلاسیک را قابل اعتماد (Reliable) نمی­داند. دلیل او برای این امر، به مفهوم مورد نظر او از ارتباط میان ریاضیات، زبان و منطق بر می­گردد. براوئر بیان می­کند که از آنجا که قواعد منطق روی اشیاء زبانی عمل می­کنند و این اشیاء زبانی می­توانند به طور مجزا از متنی ریاضی­ که در آن یک صدق ریاضی را توصیف می­کنند به کار روند، ممکن است قواعد منطق را برای اشیاء زبانی­ به کار ببریم که این اشیاء به هیچ متنی از ریاضیات مربوط نباشند. در حقیقت، این قواعد منطقی از متنی که در آن می­توانند به کار روند استقلال دارند ولی درستی خودشان به متن حساس است. به این معنی که هیچ تضمینی وجود ندارد که قواعد منطقی که در یک متن معتبر هستند، در یک متن دیگر نیز معتبر باشند.

براوئر در مقاله­ 1908 خود، یکی از نتایج رویکرد کلی خود به منطق را بیان می­کند. این قاعده همان قاعده­  طرد شق ثالث یا  (مخفف عبارتPrinciple of Excluded Middle ) است. به بیان براوئر، این قاعده که در منطق کلاسیک به عنوان یک قضیه یا توتولوژی و به صورت  بیان می­شود، معتبر نیست. دلیل این اعتقاد او به شهودگرایی­اش در مورد منطق برمی­گردد. از نظر براوئر، اگر اصل طرد شقّ ثالث در منطق شهودی معتبر باشد، به این معنا است که ما برای هر حکمِ A روشی در اختیار داریم که یا به ما ساختی برای  می­دهد و یا نشان می­دهد که ارائه­ چنین ساختی غیر ممکن است ولی ما چنین روشی در ریاضیات نداریم. مسائلِ باز بسیاری در ریاضیات وجود دارد. برای مثال، براوئر بیان می­کند که قابل حل بودن مسائلی مانند «آیا در بسط اعشاری عدد ، رقمی وجود دارد که بیشتر از بقیه تکرار شده باشد؟» قطعی نیست. در حقیقت، این مسائل برای اعتبار اصل طرد شق ثالث، مثال نقض محسوب می­شوند.

برای مثال حدس گلدباخ (Goldbach’s Conjection) را در نظر بگیرید که بیان می­کند: هر عدد زوجِ بزرگتر یا مساوی 4، مجموع دو عدد فردِ اول است. این اصل را با حرف  نشان می­دهیم. برای مثال 18=5+13 ، 68=7+61 ،300 =149+153و… . واضح است که ما با این روش تنها می­توانیم، در صورت وجود، یک مثال نقض برای این اصل بیابیم ولی این روش چیزی را اثبات نمی­کند. می­دانیم که در حال حاضر هیچ استدلال و اثباتی برای این حدس یا برای اثبات کاذب بودن آن ارائه نشده است. با این شرایط، مسئله این است که آیا در این حالت می­توان معتبر بودن کاربرد اصل طرد شقّ ثالث برای این حدس را پذیرفت یا خیر. یعنی آیا می­توان به درستی بیان کرد: ؟ اگر بخواهیم چنین ادعایی کنیم باید ساختی داشته باشیم که مشخص کند کدام یک از این دو،  یا ، دارای برهان است. ولی ما چنین ساختی در دست نداریم و هیچ اساسی برای پذیرفتن صدقِ   نداریم. براوئر از مثال­هایی مانند این استفاده کرد تا نشان دهد برخی از قضایای ریاضیات کلاسیک معتبر نیستند. مثال­های براوئر نشان می­دهند که تا به حال، برخی از احکام ریاضی هیچ برهانی نداشته اند ولی امکان کشف چنین برهانی رد نشده است. یک فضای ریاضی که اصل طرد شقّ ثالث در آن معتبر باشد، باید متناهی باشد. در چنین فضایی، هر یک از ساخت­ها متناهی است و می­توان همه­ آن­ها را بررسی کرد که آیا به نتیجه می­رسند یا خیر. در نتیجه، در فضای متناهی از ریاضیات، مسئله­ باز وجود ندارد.

در حقیقت، آنچه که براوئر نشان می­دهد اثبات نشدن گزاره­ای در ریاضیات است نه اثبات نقیض آن. به عبارتی براوئر نشان می­دهد که   ولی نشان نمی­دهد که  . از نظر براوئر این ­که اصل طرد شقّ ثالث معتبر نیست، به هیچ وجه به این معنا نیست که این اصل، غلط است. زیرا فرض کذب اصل طرد شقّ ثالث یعنی   نتیجه می­دهد که  و نتیجه­ اخیر، یک تناقض (Contradiction) است. به همین منظور، در منطق شهودی برای جلوگیری از رسیدن به تناقض، نقیضِ نقیضِ اصل طرد شقّ ثالث، ، صادق است. از اینجا براوئر نتیجه می­گیرد که استفاده از اصل طرد شقّ ثالث، همیشه سازگار (Consistent) یا غیر متناقض است ولی نمی­توان مدعی شد که همیشه به صدق منجر می­شود. استدلالی که از این قاعده استفاده کند، اگر چه صدق نتیجه­  خود را به اثبات نمی­رساند ولی سازگاری نتیجه­  خود را در پی دارد. به این معنی که ممکن است نتیجه­  چنین استدلالی صادق نباشد  ولی حتماً با مقدمات خود سازگار است. ادعای اینکه تمامی مسائل ریاضیات قابل حل هستند، با این ادعا که هیچ مسئله­ غیر قابل حلّی در ریاضیات وجود ندارد، یکسان نیست. ادعای دوم نسبت به ادعای اولی ضعیف­تر است. ادعای  اولی،  معادل  عبارت  است و ادعای دوم را می­توان به صورت  بیان کرد. از نظر براوئر و بر اساس فلسفه شهودگرایی او، ادعای دوم قابل اثبات است ولی ادعای اول معتبر نیست (Kolmogorov, 1925 :420-422).

 

نتیجه­

براوئر رویکرد شناخت­شناسانه و هستی ­شناسانه­ ویژه­ای به ریاضیات و منطق دارد، و ریاضیات را مقدم بر منطق می­شمارد. منطق شهودی به عنوان منطقی غیر کلاسیک، نتیجه­  رویکرد براوئر به منطق  و انتقادات او به ریاضیات و منطق کلاسیک است. در سیستم­های منطق شهودی، اصل طرد شقّ ثالث معتبر نیست و در نتیجه، بسیاری از قضایای منطق کلاسیک در آن­ها برقرار نیست. همچنین برهان خلف نیز به عنوان روشی برای اثبات قضایا که با فرض نقیض حکم و رسیدن به تناقض، درستی حکم را نتیجه می­دهد، در این منطق معتبر شمرده نمی­شود. این نتایج، همگی از اصول فلسفی حاکم بر دیدگاه­های براوئر حاصل شده­اند. مهم ترین دیدگاه­های او را می­توان شهودگرایی و ساخت­گرایی در ریاضیات دانست که خود، نتیجه­ رویکرد پدیدارشناسانه­ براوئر به ریاضیات است.